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La matemática, ¿descubrimiento o invención?
William Aristizábal Botero
Profesor, Departamento de Física, Universidad de Caldas

El autor de esta nota se adentra en las espesas aguas del viejo y venerable e irresuelto problema de la naturaleza de los objetos matemáticos.

La matemática, ¿descubrimiento o invención?
Ilustración por Reptil

Para examinar esta pregunta vamos a considerar dos posiciones opuestas tomadas de entre muchas controversias que se han dado a través de la historia de las matemáticas. La primera es la posición de Godfred Harold Hardy, quien afirma que las matemáticas están en el mundo y que nosotros sólo tenemos que descubrirlas. Expresa este genial matemático en su libro A Mathematician’s Apology escrito en 1941, lo siguiente:

Creo que la realidad matemática yace fuera de nosotros, que nuestra función es descubrirla u observarla, y los teoremas que probamos, y que con grandilocuencia describimos como nuestras ‘creaciones’ son simplemente las notas de nuestras observaciones.

Esta posición sostenida desde la Grecia antigua por los platónicos y conocida como realismo, está fundamentada en la creencia de que los objetos matemáticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos. En este sentido, el matemático no puede inventar ni construir, sino sólo descubrir algo que ya existe. En otras palabras, tanto los "objetos matemáticos" como las leyes matemáticas no se crean sino que se descubren. (Después de todo, nadie dice que se inventó un teorema, sino que lo demostró). 

Es innegable que se puede observar la vasta presencia de la matemática en la naturaleza, desde espirales en la doble hélice del ADN, curvas logarítmicas que se observan tanto en sencillas conchas como en galaxias, series de Fibonacci que explican la conformación de flores y plantas, y de manera recurrente la razón dorada o divina proporción como ha sido llamada, que se puede observar en rostros armoniosos que muestran que la belleza está regulada por las matemáticas. Se encuentran también elipses, parábolas y otras curvas que pueden ser determinadas mediante sencillas relaciones matemáticas y que permiten explicar el movimiento de los cuerpos y hasta la concepción del espacio-tiempo, al que Einstein se refería como una geometría. 

Esta posición concuerda con la definición de muchos autores que dicen que ver y revelar patrones ocultos es lo que mejor hacen los que se dedican a la práctica de la matemática, dando a entender que la matemática tiene una existencia independiente de las ideas y de los modelos planteados a la luz de la inteligencia humana y que estas ideas y modelos son sólo un acercamiento a una realidad objetiva puesta en escena por algún tipo de Dios, entidad por lo demás recurrente cuando se hace referencia a la matemática. Expresiones como: Dios creó los números, Dios no juega a los dados con el Universo, Dios es un geómetra etc., dan a entender que la aparente omnipresencia y utilidad de la matemática son características asociables a seres superiores que las utilizaron en la construcción del mundo, y que por lo tanto los seres humanos tenemos el reto de descubrirlas para poderlo entender.

Una postura contraria está consignada en el epílogo del libro Matemáticas e imaginación de E. Kasner y J. Newman quienes, al mencionar la importancia de las geometrías no euclidianas, anotan sobre la introspección matemática y sobre el conocimiento de la relación entre ella y las partes que la constituyen:

hemos superado la noción de que las verdades matemáticas tienen existencia independiente y aparte de nuestras propias mentes. Todavía nos resulta extraño que semejante noción pudiera haber existido alguna vez.

Respecto a esta última concepción, el antropólogo estadounidense Leslie Alvin White, uno de los principales promotores de la teoría neo-evolucionista y quien sostiene que las matemáticas son parte de la cultura, dice:

Desde el punto de vista psicológico y antropológico, esta última concepción es la única científicamente sana y válida. No hay más razones para creer que las realidades matemáticas posean una existencia independiente de la mente humana que para creer que las realidades mitológicas posean una existencia separada del hombre.

Dentro de los argumentos que White expone para su concepción cultural de la matemática está el que afirma que los pueblos heredan de sus predecesores los conocimientos necesarios para la vida en sociedad y que dentro de estos están los modos de contar, calcular y hacer todo lo demás que hace la matemática. Sin importar el nivel de complejidad involucrado, la conducta matemática la determina la cultura matemática que la abarca. Menciona además que la matemática, al igual que el idioma, la música y las leyes, es un tipo de conducta primate y que sus conceptos están hechos por el hombre al igual que muchos otros como los de la ética, las reglas sociales y hasta las invenciones. Lo anterior no hace inválida la creencia de que las proposiciones matemáticas están fuera de nosotros y poseen una realidad objetiva. El lugar de la realidad matemática es la tradición cultural. Las ideas matemáticas activan los sistemas nerviosos de los hombres formando nuevas síntesis, las cuales algunos llaman invención otros creación y cuando no entienden lo que ha ocurrido las denominan descubrimiento en la creencia de encontrar algo en el mundo externo. Al respecto dice White:

Los conceptos matemáticos son independientes de la mente individual pero residen por completo dentro de la mente de la especie, es decir, de la cultura. La invención y el descubrimiento matemático son únicamente dos aspectos de un evento que tiene lugar simultáneamente dentro de la tradición cultural y en uno o más sistemas nerviosos.

Este autor reconoce que, de entre los factores mencionados, la cultura es el más significativo porque sus hechos determinantes son precisamente colectivos, no individuales, y que el sistema nervioso es el mero catalizador que hace posible el proceso cultural. Posición que concuerda parcialmente con las nuevas teorías matemáticas de las redes neuronales y los algoritmos genéticos, que han mostrado que así como el sistema nervioso se puede entrenar para ejecutar labores materiales e intelectuales, es posible construir modelos matemáticos que les permitan a las máquinas de cómputo realizar algunas de estas tareas. Todos estos avances no hubiesen sido posibles si no estuviéramos inmersos dentro de la cultura informática a la que nos hemos visto abocados en las últimas décadas del siglo XX y en las primeras del XXI.

Cabe resaltar con respecto a la corriente creacionista de la matemática, que en la actualidad y dada la emergencia y avance de las redes de comunicación, se debe hablar de una cultura matemática global, ya que su desarrollo no está circunscrito a localidades ni escuelas específicas y, por el contrario, puede ser compartida por personas de diferentes orígenes que estén enmarcadas dentro del concepto de aldea global.

Una tesis que ha tenido gran aceptación actualmente es la planteada por el filósofo Karl R. Popper, denominada realismo constructivista y considerada como más compleja y más completa que la realista platónica y la idealista subjetivista (constructivista). Popper se apoya para su tesis en las situaciones problemáticas, lo que le permite establecer límites a lo creado o inventado. Con respecto a nuestro tema, dice:

Las matemáticas son a la vez construidas y descubiertas o, lo que es lo mismo, los objetos matemáticos son una invención o creación nuestra, pero también existen independientemente de nosotros debido a lo cual deben ser descubiertos. Pero su modo de existencia no es físico o material ni tampoco meramente psicológico o mental, sino que es el mismo que tienen otras producciones humanas que constituyen el mundo de la cultura

En concordancia con la tesis expuesta por Popper, podemos decir que la matemática como un producto de la mente humana permite modelar y explicar los fenómenos físicos y sociales y la naturaleza de las cosas. Pero también puede recrearse en sí misma para encontrar relaciones abstractas que tienen existencia propia dentro del marco mental de sus especificaciones, métodos, reglas y lenguajes con los que se construye.



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